Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона.

Вместе с понятием случайного действия в теории вероятности употребляется и поболее комфортное понятие случайной величины.

Определение 4.1. Случайной величиной именуется величина, принимающая в итоге опыта одно из собственных вероятных значений, при этом заблаговременно непонятно, какое конкретно.

Будем обозначать случайные величины большими знаками латинского алфавита (Х, Y,Z,…), а их вероятные значения Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. — надлежащими малыми знаками (xi, yi,…).

Примеры: число очков, выпавших при броске игральной кости; число возникновений герба при 10 бросках монеты; число выстрелов до первого попадания в цель; расстояние от центра мишени до пробоины при попадании.

Можно увидеть, что огромное количество вероятных значений для перечисленных случайных величин имеет различный вид: для Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. первых 2-ух величин оно естественно ( соответственно 6 и 11 значений), для третьей величины огромное количество значений нескончаемо и представляет собой огромное количество натуральных чисел, а для четвертой — все точки отрезка, длина которого равна радиусу мишени. Таким макаром, для первых 3-х величин огромное количество значений из отдельных (дискретных), изолированных друг от друга значений, а Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. для четвертой оно представляет собой непрерывную область. По этому показателю случайные величины разделяются на две группы: дискретные и непрерывные.

Определение 4.2. Случайная величина именуется дискретной, если она воспринимает отдельные, изолированные вероятные значения с определенными вероятностями.

Определение 4.3. Случайная величина именуется непрерывной, если огромное количество ее вероятных значений полностью заполняет некий конечный либо нескончаемый просвет Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона..

Дискретные случайные величины.

Для задания дискретной случайной величины необходимо знать ее вероятные значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие меж ними именуетсязаконом рассредотачиванияслучайной величины. Он может иметь вид таблицы, формулы либо графика.

Таблица, в какой перечислены вероятные значения дискретной случайной величины и надлежащие им Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. вероятности, именуется рядом рассредотачивания:

xi x1 x2 xn
pi p1 p2 pn

Заметим, что событие, заключающееся в том, что случайная величина воспримет одно из собственных вероятных значений, является достоверным, потому

Пример. . Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд рассредотачивания случайной величины Х Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. — числа попаданий после 2-ух выстрелов.

Решение. Разумеется, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Их вероятности найдены в примере, рассмотренном в лекции 3. Как следует, ряд рассредотачивания имеет вид:

хi
pi 0,12 0,46 0,42

Графически закон рассредотачивания дискретной случайной величины можно представить в виде многоугольника рассредотачивания — ломаной, соединяющей точки плоскости с Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. координатами (xi,pi).

x1 x2 x3 x4 x5

Функция рассредотачивания.

Определение 4.4. Функцией рассредотачивания F(x)случайной величины Х именуется возможность того, что случайная величина воспримет значение, наименьшее х:

F (x) = p (X < x). (4.1)

Характеристики функции рассредотачивания.

1) 0 ≤ F(x) ≤ 1. Вправду, потому что функция рассредотачивания представляет собой возможность, она может принимать Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. только те значения, которые воспринимает возможность.

2) Функция рассредотачивания является неубывающей функцией, другими словами F(x2) ≥ F(x1) при х2 > x1. Это следует из того, что F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥ F(x1).

3) А именно, если все вероятные значения Х лежат на интервале Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а иF(x) = 1 при х ≥ b. Вправду, X < a — событие неосуществимое, а X < b — достоверное.

4) Возможность того, что случайная величина воспримет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции рассредотачивания на концах интервала:

p ( a < X < b ) = F(b) — F(a).

Справедливость этого утверждения Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. следует из определения функции рассредотачивания (см. свойство 2).

Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее вероятных значений, которые меньше аргумента функции.

Пример. Найдем F(x) для предшествующего примера:

Соответственно график функции рассредотачивания имеет ступенчатый вид:


Биномиальное рассредотачивание.

Вернемся к Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. схеме независящих испытаний и найдем закон рассредотачивания случайной величиныХ — числа возникновений действия А в серии из п испытаний. Вероятные значения А: 0, 1, …, п. Надлежащие им вероятности можно вычислить по формуле Бернулли:

( p — возможность возникновения А в каждом испытании).

Таковой закон рассредотачивания именуют биномиальным, так как правую часть равенства (4.2) можно рассматривать как общий член Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. разложения двучлена Ньютона:

Пример. Составим ряд рассредотачивания случайной величины Х — числа попаданий при 5 выстрелах, если возможность попадания при одном выстреле равна 0,8.

р(Х=0) = 1·(0,2)5 = 0,00032; р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)4 = 0,0064; р(Х=2) = 10·(0,8)2·(0,2)3 = 0,0512; р(Х=3) = 10·(0,8)3·(0,2)2 = 0,2048; р(Х=4) = 5·(0,8)4·0,2 = 0,4096; р(Х=5) = 1·(0,8)5 = 0,32768. Таким макаром, ряд рассредотачивания имеет вид:

Рассредотачивание Пуассона.

Разглядим дискретную случайную величину Х, принимающую только Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. целые неотрицательные значения (0, 1, 2,…, т,…), последовательность которых не ограничена. Такая случайная величина именуется распределенной по закону Пуассона, если возможность того, что она воспримет значение т, выражается формулой:

, (4.3)

где а — некая положительная величина, именуемая параметром закона Пуассона.

Покажем, что сумма всех вероятностей равна 1:

(применено разложение в ряд Тейлора функции ех).

Разглядим типичную Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. задачку, приводящую к рассредотачиванию Пуассона. Пусть на оси абсцисс случайным образом распределяются точки, при этом их рассредотачивание удовлет-воряет последующим условиям:

1) возможность попадания некого количества точек на отрезок длины l зависит только от длины отрезка и не находится в зависимости от его расположения на оси ( другими словами точки распределены Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. с схожей средней плотностью);

2) точки распределяются независимо друг от друга ( возможность попадания какого-нибудь числа точек на данный отрезок не находится в зависимости от количества точек, попавший на хоть какой другой отрезок);

3) практическая невозможность совпадения 2-ух либо более точек.

Тогда случайная величина Х — число точек, попадающих на отрезок Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. длины l — распре-делена по закону Пуассона, где а — среднее число точек, приходящееся на отрезок длины l.

Замечание. В лекции 3 говорилось о том, что формула Пуассона выражает биномиальное рассредотачивание при большенном числе опытов и малой вероятности действия. Потому закон Пуассона нередко именуют законом редчайших явлений.

Лекция 5.


smena-schetchikov-otkaza-klienta-obnovit-nomer-mobilnogo-telefona.html
smena-strana-trollyandiya-.html
smena-v-zdorovom-tele-zdorovij-duh.html